纳维耶－斯托克斯 · 原文第 10 页

剖面连接、应力锥与背景修正

图 4。目标应力的正表示。阴影锥由协方差方向 v₁、v₂ 的非负线性组合构成。内部目标 T = c₁v₁ + c₂v₂ 满足 c₁、c₂ > 0；虚线表示向量相加。当这两个方向发生足够小的扰动时，系数仍保持为正。

2. 内部解。给定这一压力数据以及指定的轴线数据，命题 B.2 构造轴线附近关于 X、η 解析的 E/√(2X)、U、Π，并使它们满足式 (4.13)。其主阶切向残差和应力在 X ≤ X_a 上为零。

3. 连接与矩匹配。推论 B.10 把内部剖面与指定外部剖面连接起来。命题 B.8 的修正匹配支配压力、径向速度及应力的五个累计径向积分。连接半径处的剖面和这些积分相等，由引理 4.4 可恢复指定的外部场。内部恒等式 (4.13) 与引理 A.8 的外部结论共同给出：当 X ≤ X_a 或 X ≥ X_b 时，T = 0。

4. 施加锥条件。在环形区域的一个紧子区间上，命题 C.2 引入相位为 N log X 的径向振荡，其中 N 是一个固定的大整数。它的振幅为 O(N⁻¹)；施加 X∂_X 后，会造成径向导数的一阶量级变化。这改变主阶切向剪切，而剖面值和径向矩仅改变 O(N⁻¹)。剪切沿一条满足容许应力锥条件的周期曲线变化。另一个局部修正精确恢复全部五个径向积分。内部解与外部热流保持不变，所得应力在整个环形区域内都允许正的协方差权重（命题 C.3）。

主阶剖面至此固定。在加入脉冲之前，第 5 节构造关于逐次幂 q^2nh（n = 1, 2, …）的修正。每一阶中，先前确定的系数提供系数方程的源项。这一递推处理径向动量方程、轴向黏性以及剩余低阶项。我们在系数的向量势和压力上加光滑截断，再把系数求和；截断在奇点附近等于一，且支撑位于依次缩小的邻域中。在相乘之后取旋度，可以保持不可压缩性。得到的光滑轴对称背景 (u_B, p_B) 满足

应力 T_phys 支撑在环形区域内，且主阶项为 T。如果当 q ↓ 0 时，每个笛卡尔时空导数对于每个 N ≥ 0 都是 O(q^N)，并在 X 的每个有界区间上一致成立，就称残差在此极限下是无限阶平坦的。由命题 5.5，余项 E_B 具有这一性质。