纳维耶－斯托克斯 · 原文第 11 页

振荡与动量输运

3.3. 振荡与动量输运

现在已得到背景 (u_B, p_B)，具有所需增长和两类脉冲能够实现的主阶环形应力 T。接着构造无散脉冲（引理 7.7），使其平均二次通量在主阶上提供 T（命题 7.5、9.5）。精确增量恒等式将这一抵消与脉冲的线性演化、以及留给后续修正的相互作用分开。

对无散速度增量 w 及压力增量 π，精确的残差恒等式为

其中

线性项描述脉冲在背景中的演化；二次项则提供应力，以抵消 R(u_B, p_B) 的主阶部分。

以 A_wave 表示特征脉冲振荡振幅，以 ℓ_wave 表示其波长。在脉冲环形区域中固定的非零剖面值处，略去对数因子和在支撑边界消失的权重，构造给出

振幅平方具有所需应力尺度：

最后一个表达式是平均径向应力散度的尺度，与切向动量方程中的主阶时间导数、输运和径向黏性相匹配。

把某一点的振幅和相位梯度冻结，得到示意性的局部形式

其中 a ∈ ℝ³ 为常振幅，ξ ∈ ℝ³ 为波向量，φ ∈ ℝ 为相位。速度沿与波向量正交的方向振荡。为在保留周期平均的同时分开不同的局部脉冲，我们构造扩展场 w̃(r, θ, z, t, Y)，使其依赖一个独立辅助变量 Y ∈ T²。其物理值为

其中固定相位映射 Y(r, t) 定义于式 (6.3)。协方差在代入这一映射之前计算。我们使用角向平均和辅助平均：

它们的复合记为 ⟨F⟩ := ⟨⟨F⟩_θ⟩_Y。平均约定汇总于式 (3.7) 至 (3.9)。分量在柱坐标基底中取值。若不同标签的局部脉冲的慢时空支撑重叠，就给它们分配互不相交的 Y 支撑。这类脉冲的乘积逐点为零，在代入 Y(r, t) 后也仍然为零（引理 6.1）。同一标签的谐波与修正则保留它们的相互作用。

在实际构造中，振幅、相位和截断都发生变化。我们把 Y(r, t) 代入局部化向量势，得到 A_wave，然后取物理旋度：