纳维耶－斯托克斯 · 原文第 7 页

集中的主阶场

3.1. 集中的主阶场

我们用式 (4.3) 中固定的速度剖面 E、U 和压力剖面 Π 来表达第 2.1 节的几何结构。式 (3.2) 的相似坐标 (X, η) 分辨径向和轴向不同的收缩速率，并把速度增长表示为集中尺度的幂。我们先规定这种表示；下一小节构造剖面，使其剩余动量残差能够由脉冲来提供。

记

其中 h 在剖面构造中固定。在柱坐标中，

主阶场 u⁽⁰⁾ = u⁽⁰⁾_re_r + u⁽⁰⁾_θe_θ + u⁽⁰⁾_ze_z 是轴对称的，即其柱坐标分量与 θ 无关。切向分量指方位角方向与轴向分量，它们与 r 为常数的柱面相切。

引入相似坐标

对于 τ > 0，消去 η 得

因此 q = q(z, τ) 唯一确定，并且 q ≍ τ + |z|^1/D，其中 ≍ 表示上下界由固定正常数因子给出。在远离 η = ±1 的相似坐标固定紧集上，有 q ≍ τ。对于有界的 X，令 q ↓ 0 就是趋近奇点。q > 0 时的端点 η = ±1 描述 t = 1 而不在该奇点处的情形；见引理 4.1。

方位角方向和轴向剖面 E(X, η)、U(X, η) 按下式确定主阶场：

不可压缩性与轴线处正则性确定 V₀：

主阶径向压力平衡及径向无穷远处的归一化给出

构造保证 E/√(2X)、U 和 V₀/X 在 X = 0 处光滑，从而对每个 t < 1，在轴线上得到光滑的笛卡尔场。特别地，轴线上 u⁽⁰⁾_θ = 0，而当 X > 0 时 E(X, η) > 0。

选取 X_c > 0 和 0 < η_c < 1，使 [0, X_c] × [−η_c, η_c] 位于定理 4.6 的内部区域，并把 t = 1 − τ 时刻的涡核定义为

由于在该区域 q ≍ τ，其径向和轴向范围满足