外部流动、局部化与证明纲要
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径向波长的缩短增大总波数的平方，从而增强黏性阻尼。我们选取初始波长，使放大作用起初占优，而阻尼随后超过它。尾部足够小，使截断误差及其所有导数在奇点处都消失。
我们组合两类脉冲，它们的径向角动量通量与径向轴向动量通量之比不同。背景剖面与振荡方向共同选定，使这两类脉冲的平均二次速度乘积提供所需主阶应力的两个分量。随着奇异时刻临近，我们把脉冲安排在越来越精细的时空尺度上。进一步修正消去动量残差中剩余的奇异项，得到速度变得无界、而残差外力仍能光滑延拓穿过奇异时刻的流动。
2.3. 外部流动与局部化
越过环形区域后，流动纯粹沿方位角方向，并且与高度无关：流体绕轴运动，速度随半径增大而减小。压力提供向心加速度，方位角速度则按黏性扩散演化。我们让该外部流动精确满足方位角速度的径向热方程，并称它为“外部热流”。其动量残差为零，因此不需要外力来维持局部流动的这一部分。
在每个固定的正半径处，随着奇异时刻临近，外部速度、压力及其所有导数都具有光滑极限。结合内部构造在原点之外的正则性，这使我们能够在空间中对流动进行光滑截断。截断产生的额外外力仍可光滑穿过奇异时刻，而截断不会改变集中的涡核。
3. 证明纲要
第 2 节的物理描述导向一个精确的抵消问题。我们必须构造速度和压力，使其动量残差能光滑延拓穿过奇异时刻，同时速度变得无界。在黏性系数为一时，残差为
估计必须控制该残差的每一个笛卡尔时空导数。
首先构造命题 5.5 中的轴对称背景 (uB, pB)，其在式 (5.41) 中的残差等于环形应力的负散度，加上一个在奇点处以任意阶消失的余项。振荡速度通过其平均二次乘积提供主阶应力（命题 7.5）。连续修正改善剩余残差的衰减（命题 9.6）。随后对这些场求和并进行局部化，保留不可压缩性和主阶速度增长，并把残差延拓为定理 1.1 中的光滑紧支撑外力（命题 10.1、9.9 及引理 10.3）。下文使用的所有估计都针对有黏性的方程证明。图 5、6 概括了该构造。
对任意 ν > 0，黏性系数为一的解可通过下列缩放给出黏性系数为 ν 的解：
奇异时刻保持不变。方程和能量的缩放在式 (10.22)、(10.23) 中验证。在本纲要的余下部分取 ν = 1。
