纳维耶－斯托克斯 · 原文第 4 页

内核尺度、动能与雷诺数

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轴向外流把流体带走，使向内运动和旋转加速得以持续。

在主阶上，涡核以自相似方式演化：当距离和速度分别按其随时间变化的尺度度量时，速度剖面的形状固定。径向尺度与轴向尺度以不同速率收缩。以 τ = 1 − t 表示距离奇异时刻所剩的时间，则有

其中 h 固定，符号 ≍ 表示上下界分别由与 τ 无关的正常数因子给出。两个长度均趋于零，而 ℓ_r/ℓ_z ≍ τ^h → 0：涡核变成一根越来越细长、集中于原点的柱体，其体积量级为 τ^3/2−h。

主阶流动的特征速度大小满足

这些是整个涡核中的典型尺度；尤其要注意，方位角方向速度在轴线上为零。流动在每个 t < 1 时均光滑，但当 t ↑ 1 时，其最大速度在原点一个不断缩小的邻域内变得无界。涡核的总动能量级为 τ^1/2−3h，尽管速度不断增大，它仍趋于零。

不同速度尺度对应不同雷诺数。对于速度 U、长度 ℓ 和黏性系数 ν，雷诺数 Uℓ/ν 比较的是黏性扩散时间 ℓ²/ν 与流体运动跨越该距离所需的时间 ℓ/U。以涡核半径作为长度尺度，特征方位角雷诺数和径向雷诺数为

这里 ν > 0 固定。

方位角雷诺数趋于无穷大：在一个径向扩散时间内，流体转过的圈数越来越多。径向雷诺数仍有界，因此黏性持续与径向内流相竞争。相应的输运速率和扩散速率满足

因此，随着涡核收缩，径向扩散以及径向、轴向流动造成的输运仍处于主阶平衡中。轴向扩散更弱：轴向扩散速率与径向扩散速率之比为

涡核还必须在其外缘提供足够的剪切，以放大放置在那里的脉冲。远离中间平面时，轴向流动从旋转更快的流层携带角动量，支持角速度沿径向的陡峭下降。若具有精确反射对称性，这种输运将在 z = 0 处消失。对称性还会强制 u_z(r, 0, t) = 0，使轴向速度没有径向剪切可用于补偿。因此，我们选取略微不对称的轴向剖面，带有微小的向上偏置，并在 z = 0 处具有非零速度。这将旋转放大作用较弱的流层与轴向剪切为零的流层分开。轴向速度的径向剪切于是提供中间平面附近所需的额外放大；更远处则已有足够的旋转机制。