纳维耶－斯托克斯 · 原文第 3 页

内核的几何与运动

图 1。在依次递增的时刻 t₁ < t₂ < t₃ < 1，内核的中心部分。在该区域中，流体向内螺旋运动，并在靠近 z = 0 的分界层两侧沿轴向朝相反方向流动。随着奇异时刻临近，强烈流动所在的区域缩小，速度增大。其半径比高度缩小得更快；示意图夸大了这种差异。

在内核中，剖面方程施加主阶动量平衡。把这一流动连接到一个速度随半径增大而减小的光滑外部流动，会在中间的环形区域留下非零残差。仅对背景流而言，动量残差在 t ↑ 1 时变得无界，因此不能作为定理所要求的光滑外力。我们加入空间振荡脉冲，使其非线性动量通量抵消该残差的奇异部分。进一步修正将消去剩余的奇异误差，留下一个能够光滑延拓穿过 t = 1 的外力。

2.1. 内核

我们构造的流动使奇点在时刻 t = 1 形成于空间原点。使用绕竖直轴的柱坐标：

其中 r 是到轴线的距离，θ 是绕轴角度，z 是高度。速度分量 u_r、u_θ 和 u_z 分别描述朝向或背离轴线、绕轴以及沿轴的运动。主阶流动 u⁽⁰⁾ 是轴对称的：其柱坐标分量依赖于 r、z、t，但不依赖于 θ。

在内部区域的中心部分，流体朝轴线向内螺旋运动，并在靠近 z = 0 的分界层两侧分别向上、向下流动（图 1）。在离这个中心区域更远的上方和下方，内部剖面还包含径向外流。压力朝轴线方向降低，提供主阶向心力。压力的轴向梯度与输运和黏性一起进入轴向动量平衡。靠近轴线时，轴向压力作用力指向 z = 0 平面。

径向内流把角动量携带到较小半径处，从而促使旋转加速。对于不受力矩作用的流体粒子，单位质量角动量 ru_θ 守恒，因此向内移动会增大 u_θ。在实际涡核中，黏性把角动量向外输运；特征速度的增大反映了向内输运与黏性损失之间的平衡。不可压缩性阻止流入的流体在轴线附近堆积：

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