纳维耶－斯托克斯 · 原文第 2 页

历史背景与爆破的物理描述

1.1. 历史背景与已有工作

不可压缩且无黏性的流动由经典的 Euler 方程 [7] 描述：

物质加速度 D_tu 描述一个流体微团沿其轨迹的加速度，这种加速度既来自流动本身随时间的变化，也来自微团位置的变化。关键在于，后一项 (u · ∇)u 关于速度 u 是非线性的，这造成了分析中的大部分困难。式 (1.2) 的第一个方程表明，根据牛顿第二定律，这一加速度与负压力梯度及外力之和相联系。第二个方程说明流体不可压缩：我们不能在一个方向压缩流体，而不同时在另一个方向将其拉伸。

式 (1.1) 给出的纳维耶－斯托克斯方程 [12, 15] 增加了一项黏性力，用来抵抗相邻流体微团之间的剪切。黏性力关于 u 是线性的。然而，它通过平滑速度梯度，显著改变了流动的性质。这种平滑作用是否总能阻止三维中的有限时间奇点，正是正则性问题的核心。

1934 年，Leray [10] 构造了三维方程的全局有限能量弱解，这些弱解满足能量不等式。从光滑数据出发的解是否始终保持光滑，仍未得到解决。Caffarelli、Kohn 和 Nirenberg [4] 证明，适当弱解的奇异集的一维抛物 Hausdorff 测度为零；这一界仍允许孤立奇点存在。Escauriaza、Seregin 和 Šverák [6] 证明，在尺度不变的 L^∞_tL³_x 范数有界的条件下，无外力 Cauchy 问题具有正则性。

Tao [16] 为一个平均化的纳维耶－斯托克斯方程构造了有限时间爆破，该方程保留了原非线性项的能量抵消性质。对于原方程，Buckmaster 和 Vicol [3] 使用凸积分建立了有限能量弱解的非唯一性。随后，Albritton、Brué 和 Colombo [1] 利用相似变量中的不稳定涡旋，构造了具有零初始速度、相同外力而彼此不同的适当 Leray–Hopf 解。他们的外力属于 L¹_tL²_x，并在初始时刻具有奇异性。

Lifschitz 和 Hameiri，以及 Friedlander 和 Vishik 的方法 [11, 9] 描述了波向量和速度极化沿背景流的演化。关于波动力学的其他先例包括 Billant 和 Gallaire [2] 的广义离心不稳定性判据，以及 Singh 和 Sridhar [13] 的精确黏性剪切波。利用振荡实现给定应力，是 Daneri 和 Székelyhidi [5] 的 Euler 构造中的核心方法。

2. 爆破的物理描述

我们先描述实现定理 1.1 的流动所依据的物理机制，然后在第 3 节给出完整的证明梗概。

对于任意不可压缩流动 u 和压力 p，我们总可以把外力 f 定义为式 (1.1) 的残差。这样，纳维耶－斯托克斯方程就按构造成立。困难在于选择一个会爆破的流动，同时让这个残差仍然光滑。动量残差的各个单项可能发散，但我们必须安排足够的抵消，使它们的和及其所有导数都能光滑地延拓穿过奇异时刻。

具体来说，我们构造一个主阶剖面自相似的涡旋，其径向宽度比轴向长度减小得更快。中心流动把向内的螺旋运动与轴向外流结合起来。随着涡核收缩，方位角方向和轴向的速度尺度增大，从而增强周围环形区域内的剪切。