纳维耶－斯托克斯方程的有限时间爆破
摘要
对于每个正黏性系数，我们构造三维不可压缩纳维耶－斯托克斯方程的一个解。该解从静止状态出发，在有限时间内出现无界速度，同时保持动能一致有界。
目录
- 1. 引言1
- 2. 爆破的物理描述2
- 3. 证明纲要6
- 4. 构造主阶流动24
- 5. 将背景流修正至任意阶45
- 6. 辅助环面与振荡支撑的分离62
- 7. 残差应力的振荡实现与修正72
- 8. 紧支撑的平均场修正87
- 9. 残差改进与局部场100
- 10. 紧支撑外力与全空间解的失效116
- 附录 A. 匹配径向矩并构造外部热流126
- 附录 B. 轴线附近的解析剖面及其延拓144
- 附录 C. 实现容许应力锥157
- 参考文献165
1. 引言
我们考虑三维不可压缩纳维耶－斯托克斯方程。关于这些方程性质的一个基本问题是：从光滑初始数据出发的解，能否在有限时间内出现无界速度，而其动能仍保持有界？我们构造了这样一个流动，其初始速度为零，外力光滑，并且在空间和时间上均具有紧支撑。
定理 1.1。对于每个 ν > 0，存在外力 f ∈ C∞c(ℝ³ × (0, ∞); ℝ³)、紧集 K ⊂ ℝ³，以及定义在 ℝ³ × [0, 1) 上的光滑速度场 u 和压力场 p，满足
∂tu + (u · ∇)u − νΔu + ∇p = f，
∇ · u = 0，u(·, 0) = 0。 (1.1)
∇ · u = 0，u(·, 0) = 0。 (1.1)
并且，对于每个 0 ≤ t < 1，
supp u(·, t) ∪ supp p(·, t) ⊂ K，
sup0≤t<1 ‖u(t)‖L²(ℝ³) < ∞，
lim supt↑1 ‖u(t)‖L∞(ℝ³) = ∞。
sup0≤t<1 ‖u(t)‖L²(ℝ³) < ∞，
lim supt↑1 ‖u(t)‖L∞(ℝ³) = ∞。
因此，在 ℝ³ × [0, ∞) 上，不存在具有相同外力和初始数据、且动能满足下列一致有界条件的光滑解 (u, P)：
supt≥0 ½ ∫ℝ³ |u(x, t)|² dx < ∞。
这就建立了 Fefferman 在文献 [8] 中给出的纳维耶－斯托克斯千禧年难题表述中的选项 (C)。紧支撑还给出了 T³ = ℝ³/ℤ³ 上的相应构造，从而建立文献 [8] 中的选项 (D)；见推论 10.6。