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光滑外力下 Boussinesq 方程的爆破

Levent Alpöge 与 Tristan Buckmaster

摘要

沿用 Córdoba 和 Martínez-Zoroa 的多尺度研究计划，我们构造了 ℝ² 上无黏性 Boussinesq 系统的有限时间爆破，其中两个方程都带有光滑的外部源项。这些源项属于 C^∞(ℝ² × [0, T_*])，并且支撑位于同一个固定的空间球内。初始温度光滑且紧支撑，初始速度为零。当 t ↑ T_* 时，温度保持有界，而其梯度范数趋于无穷大，涡量范数的上极限为无穷大；这里两个范数均为 L^∞ 范数。

1. 问题与构造1
2. AI 使用声明7
3. 精确波及其受控增长8
4. 用于受控演化的紧支撑场37
5. 全生命周期上的导数界39
6. 有限阶局部修正方程52
7. 外部源项的混合导数估计56
8. 一套共同的参数选择66
9. 解的构造与外部源项的光滑性69
10. 两项爆破结论与唯一性73
致谢76
参考文献76

1. 问题与构造

无黏性 Boussinesq 方程描述处于固定且恒定重力场中的非均匀密度流体的动力学。本文构造了具有光滑、紧支撑外部源项和光滑初始数据的 Boussinesq 方程解。该解以下述意义在有限时间内发生爆破：沿着一列从爆破前趋近于有限爆破时刻的时间序列，涡量范数无界，而温度异常量保持有界，但其梯度变得无界。在严格早于爆破时刻的每个闭时间区间上，速度和压力均光滑。速度满足 Biot–Savart 定律，以及下文规定的衰减条件。

本文发展了由 Diego Córdoba 和 Luis Martínez-Zoroa 发起的研究计划，他们开创性的多尺度构造为本文提供了主要的思想基础。我们认为，底层策略的首要学术贡献应归于他们。当前工作是这一研究计划中的一项贡献，尤其受益于他们关于不可压缩多孔介质（IPM）方程的构造 [6]，以及 Córdoba、Andrés Laín-Sanclemente 和 Martínez-Zoroa 关于 Boussinesq 方程的构造 [5]。下文将说明我们继承的思想及所作的调整。