Boussinesq · 原文第 10 页

增长、过渡、转向与保持阶段

这里 t^b_q−1 和 σ_q−1 是前一阶段的结束时刻与增长尺度，在下文 (iii)、(iv) 中定义。设 tⁱⁿ₁ = 1、tⁱⁿ_q = t^b_q−1，以及 s₁ = s_*。在激活时，对 q ≥ 2 令

速率 Γ_q 规定增长与过渡的时间尺度。对于 q = 1，取 Γ₁ = sin s_*。对每一层，使用 h^max_q = c_pΛ_q sin s_q。特别地，Λ₁ 是固定的；它不是指定增益 L₁。激活时，先前已完成的相位梯度是竖直的。在该时刻选择 p_q = e(s_q)、Θ_q = Θ^seed_q，以及 Ω_q = √(b_q/a_q)Θ_q。a_q、b_q 的正性是控制估计的一部分，而不是额外的任意选择。激活函数为

激活发生于增长的第一部分。齐次振幅对在入口处已经非零，但截断使物理增量在那里以任意阶消失。激活完成后，截断保持为一。下文的停止时刻是温度振幅阈值，而不是关于相位垂直性的条件。

增长之后，是两个反馈律之间的过渡，再之后是转向。转向律中的短负脉冲具有固定持续时间；只有其振幅需要选定。后续保持区间与下一阶段的增长重叠。

(i) 在增长阶段，α̇ = F_q−1，直至首次满足 −Θ_q = λ_q^−7/8 的时刻 t^a_q。

(ii) 在长度为 Γ_q⁻¹、于 t¹_q 结束的过渡阶段，使用 α̇ = (1 − η_b)F_q−1 + η_bF_q，其中 η_b = η(Γ_q(t − t^a_q))。

(iii) 转向在 t^b_q = t¹_q + Γ_q⁻¹(1 + Λ_q⁻¹) 处结束。设

选择使 Ω_q(t^b_q; h) = 0 的最小 h ∈ [0, h^max_q]。

(iv) 在随后直到 t^a_q+1 的保持区间，使用 α̇ = F_q。最后定义 σ_q² = |G_<q+1(t^b_q)|。

因此，增长尺度是转向结束时背景梯度大小的平方根。它不同于增长速率，也不同于重缩放时间。在保持区间内，这一层的振幅对不变；共同旋转及其他层的演化不必停止。

定理 3.2 证明选定根的存在性，以及爆破前每个连接处的光滑延续。每阶段选择一次根，并不要求把这个根视为全部旧数据的函数而对其求导。对于递归延续的各阶段，设

暂时允许该极限为无穷。其有限性由受控阶段估计推出，并用于组装论证。

3.4. 与摆构造形式的比较

Córdoba、Laín-Sanclemente 和 Martínez-Zoroa [5, 第 2.5 至 2.6 节] 的有限维构造同样选择一种参数演化：它放大一个层，允许在保持外部源项处于所需界内的同时进行切换，并为后续层作准备。仅为这次比较，以 c_n 表示按他们坐标约定的层中心第一坐标，并使用他们的记号 a_n、b_n 表示逆长度尺度，以及

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