Boussinesq · 原文第 9 页

反馈控制、频率安排与激活参数

接上一原页末句。

波向量。温度振幅和涡量振幅是标量系数，并不是局部化和修正之后的完整紧支撑场。

保持相位梯度第一个分量固定的反馈为

这里及下文关于剪切的求和均从 i = 1 开始。事实上，对式 (3.3) 取转置可得

因此，若初值相匹配且 ζ_j,2 ≠ 0，取 α̇ = F_j − Ż/ζ_j,2 就能指定 ζ_j,1 = Z。此公式保留实验室坐标中的重力：b_j = λ_jζ_j,1，而不是沿旋转重力方向的导数。

令 ρ_j = log|ζ_j|、ζ_j = |ζ_j|e(φ_j)，设 φ₀ = −α，并记 d_ij = φ_j − φ_i。由式 (3.3) 得到 ζ̇_j = −D^T_<jζ_j，把它写成极坐标形式，有

特别地，ḋ_ij = Σ_i − Σ_j：共同旋转从相对角度中消失。这一抵消在对控制求导时很有用，因为它阻止 α 的最高阶导数重新出现在用于估计它的第一个方程中。

3.3. 频率安排、激活与阶段区间

参数分为四组。频率和物质坐标半径控制振荡与支撑。种子和指定的对数增益控制振幅。增长尺度、增长速率以及控制导数速率支配时间。最后，容许导数阶决定有限次修正的数量；它既不是层指标，也不是 Fourier 模态。下列公式规定它们的关系，并包括第一阶段的特殊取值。

固定 β = 1/8、整数 Q_* ≥ 200，以及 Q_q = Q_* + q。在求解常微分方程之前，先固定频率和包络半径：

这里 Π_q 是第 q 层共同使用的大小尺度和时间导数尺度。小数 s₀ 规定式 (4.1) 中 F 的线性区间。非减函数 K : ℕ₀ → [2, ∞) 在式 (7.21) 中独立于所有频率定义。对于 log λ₁ ≥ K(0)，设

这里 k_q 是要一致控制的导数阶，J_q 是相应修正层级的数量。于是精确地有 |Θ^seed_q|e^Lq = λ_q^−7/8。种子足够小，使光滑激活所产生的外部源项落在所需界内。放大在指定的温度大小处停止，而不是在依据近似增长公式选出的某个时刻停止。

取光滑非减函数 η，使其在 (−∞, 0] 上为零，在 [1, ∞) 上为一。固定任意 η₂ ∈ C^∞_c((0, 1))，满足 η₂ ≥ 0、∫η₂ = 1，并记 H₂ = ‖η₂‖_∞。脉冲乘数 c_p 大于后续阶段模型中归一化振幅比值的上障碍 v̄，该模型包含前一层的响应。参数 Λ₁ 压缩第一个负脉冲，s_* 是第一个插入角。这些设计数据与所有频率参数无关：