Boussinesq · 原文第 11 页

与摆模型比较及受控阶段估计

接上一原页末句。

以 B_n 表示其流函数振幅；这些并不是我们振幅系统的系数。他们的中心与形变方程为

设 a_* = a_n−1(1)、b_* = b_n−1(1)、B_* = B_n−1(1)。对于相对间距 c_n − c_n−1，他们的理想模型只保留前一层的贡献，并冻结这些系数：Ξ̇_p = B_*b_* sin(a_*Ξ_p)。对于其模型逆尺度 b_mod 及入口时刻 t_n，令

在其选择 0 < φ_p(0) < π/2 下，方程变为

他们的初始相位和时间尺度使拉伸先增长、随后回落。密度脉冲在大形变期间保持不变，而在形变很小时开启和关闭；关闭它会留下涡量。理想回归发生在他们的终止时刻 1，而不是在下一次激活时精确重置。他们通过与这一模型比较来控制完整方程 [5, 第 2.12、2.14 及第 3 节]。

这里，相应的准备通过控制式 (3.5) 中的相位分量来完成。增长阶段固定前一相位分量；过渡阶段改变反馈；式 (3.12) 则使用持续时间固定、振幅经过选择的负脉冲，使 ζ_q,1 = Ω_q = 0。后续保持区间冻结这一振幅对，而下一层继续增长。因此，我们在使最新涡量振幅回到零的同时保留温度增益；这与他们在密度脉冲结束后保留涡量的做法形成对照。旧场并非静止，该层全部未来演化也并非静止。因此，我们的转向与保持实现了相关的、基于常微分方程的准备原则，但采用不同变量和不同端点条件；并不是用摆方程替代受控系统 (3.2)。

3.5. 受控阶段估计

估计按后续用途分组。非零性与锥条件给出持续的温度增长。转向结束时的涡量界给出第二个爆破结论。形变界保证整个生命周期内支撑的嵌套，而传播子估计相对于增长振幅来控制修正。我们将第一阶段常数单独保留，因为第一阶段的相位梯度长度固定，与后续阶段不同。

在整个控制证明中，记 P_j = −Θ_j、r_j = |ζ_j|、ρ_j = log r_j；对于 j ≥ 2，ϑ_j = φ_j − φ_j−1，并设 ϑ₁ = s_*、d_ij = φ_j − φ_i。导数阶可以是满足 0 ≤ k_j ≤ Q_j/120 的任意序列；没有修正常数进入这一证明。对于 j ≥ 2，令 ϖ_j = L_js_j；设 X₁ = Λ₁Γ₁，并对 j ≥ 2 设 X_j = L_jΓ_j。

在这一控制论证中，带下标的 P_j 始终表示正振幅，ϑ_j 始终表示相邻角度。式 (3.1) 中不带下标的 P 和 ϑ 仍分别表示周期原函数和温度场。这里 ϖ_j 度量转向角，而 X_j 包含压缩负脉冲的速率。

现在固定这四组估计所需的界：首先是涡量界与几何界，然后是放大界，再是时间界与形变界，最后是误差容限。本节所有常数仅依赖于固定设计、固定界常数以及正的

本句在原文第 12 页继续，后续译文尚未发布。