Boussinesq · 原文第 8 页

精确波、仿射背景与振幅变量

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构思和迭代。）在与 Claude 和 Codex 就我们的各种想法（包括不同的证明结构）进行迭代，并由此得到数个不同证明之后，我们获得了当前简化后的论证。随后又用 Claude 和 Codex，先使用 5.6 Sol，再在取得访问权限后使用 Astra，继续迭代，形成当前稿件，最后再由我们手工编辑。

3. 精确波及其受控增长

现在，我们把第 1.2 小节的波计算发展到构造中使用的一般周期剖面，再选择共同旋转，使其产生增长并让每个新涡量振幅回到零。估计还追踪每个旧层，因为它们共同构成后续附加层的背景。空间截断和局部化误差在第 4 节处理。

3.1. 双场计算

令 D(t) 为迹为零的矩阵，G(t) 为向量。在先前状态为 u_old = Dx、θ_old = G · x 的区域，其涡量在空间上为常数。取非零相位梯度 ζ(t)、带符号的温度和涡量振幅 Θ(t)、Ω(t)、固定频率参数 λ > 0，以及光滑奇函数、2π 周期的 F。令 P 为其偶的、零均值周期原函数。以 s = λζ · x、κ = |ζ|²，定义

将这些场加到仿射背景上，标量残差和涡量残差的变化，就是下面证明中计算的增量。

引理 3.1（精确仿射波）。若满足

则式 (3.1) 的标量与涡量残差增量都为零。

这是一个局部波；其紧支撑版本在第 4 节构造。

证明。第一个方程给出 (∂_t + Dx · ∇)s = 0。此外 Jζ · ζ = 0，所以 v · ∇ϑ = v · ∇ϖ = 0。标量增量是 [Θ̇ + Ω(Jζ · G)/(λκ)]F(s)。由于 v · ∇ω_old = 0，涡量增量是 [Ω̇ − λζ₁Θ]F′(s)。由式 (3.2)，两个表达式均为零。特别地，这里没有使用任何正弦恒等式。□

因此，第 1.2 小节中的正弦波增长计算同样适用于这些剖面。我们仍记 e(φ) = (sin φ, cos φ)。接下来规定所有旧层如何确定 D 与 G，以及共同旋转如何控制相位分量 ζ₁。

3.2. 仿射背景与振幅变量

以 α(t) 表示共同旋转角；它不同于任何流函数。令 R_α 表示逆时针旋转 α。设 e₀ = R_αe₂ = e(−α)、w₀ = 1，以及 A₀ = σ₀ = 1。激活权重 w_j ∈ [0, 1]、激活时刻 tⁱⁿ_j 和单位激活向量 p_j 将在下文第 3.3 小节规定。对每个已激活的层 q，令

每对振幅都使用自身的背景系数求解式 (3.2)。将其两个系数分别记为 a_q、b_q，即 Θ̇_q = a_qΩ_q、Ω̇_q = b_qΘ_q。在爆破前的任一时刻，只有有限多个层被激活。

形变矩阵描述由完整背景引起的仿射输运。相位梯度具有方向和长度；将其乘以频率参数，就得到物理

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