Boussinesq · 原文第 7 页

缩放证明续、记号与 AI 使用声明

这些有限因子保留闭终止时空层上的每个混合导数。只要已选定外部源项的延拓，缩放也保持全局光滑性和时空紧支撑。固定球支撑还保持式 (7.1) 中带权的 L¹ 与 L^∞ 外力范数。状态和压力的光滑性传递到爆破前的每个闭时间区间。温度上确界得到因子 ν²/μ，梯度范数得到 ν²，涡量范数得到 ν；因此式 (1.5) 的三个结论都随之传递，并保留其完整极限与上极限的量词。

缩放保持光滑类 Y_T：它保持光滑性，以及标量和涡量支撑的紧性；对于固定 μ > 0，⟨μx⟩ 与 ⟨x⟩ 可比，因此每个带权界 (1.3) 都保持不变。

对于唯一性，还考虑命题 10.2 之前定义的更大函数类 X_τ。定义在 [0, τ] 上的一个竞争解映射为

其压力在相同坐标下按 p̃ = (μ²/ν²)p 变换。对于单位尺度外部源项，此代换在分布意义和几乎处处意义下均成立。在二维中，两个分量的 L² 范数分别得到 μ²/ν² 和 μ²/ν；其空间梯度的 L^∞ 范数分别得到 ν⁻² 和 ν⁻¹。局部 Lipschitz 连续性和强初始迹也保持不变。逆变换为式 (1.6)，所以它是在相应外部源项和数据下从 X_τ 到 X_ντ 的双射。根据刚才核查的支撑与带权界，它也是从 Y_τ 到 Y_ντ 的双射。因此，只要在单位尺度构造中证明唯一性，唯一性就会传递到这两个函数类中的任一个。这里没有使用终止状态或终止压力。□

在定理 1.1 的最终证明之前，所有变量均使用这些归一化单位。我们省略波浪号，以 (x, t) 表示 (X, T)，并以 χ₀、R₀ 表示任意容许的归一化截断及其支撑半径。特别地，构造的初始数据为

在求和或比值中需要零指标时，仍保留 A₀ = λ₀ = σ₀ = 1。频率递推仍从第 2 层开始。在这些单位下，初始插值持续时间为一；对原始数据，其持续时间为 1/√A₀，其中 A₀ 如式 (1.4)。

1.5. 记号

我们的 Fourier 变换约定为 ĥ(ξ) = ∫_ℝ² e^−ix·ξh(x) dx。因此在非零频率处，Δ⁻¹ 的符号为 −|ξ|⁻²，K = ∇^⊥Δ⁻¹ 的符号为 −iJξ/|ξ|²。对于下文使用的紧支撑流函数，零频问题由引理 4.1 精确解决。

我们在如下点反射类别中工作：

其中 f_θ、f_u 为奇函数，并以 p(0, t) = 0 归一化压力。空间支撑和时间区间在定理中规定。

2. AI 使用声明

我们乐于同时使用 Claude 和 Codex 来迭代我们的证明。2026 年 8 月 15 日，我们使用 Claude 得到了第一个爆破解，但不是当前这一个，并于 2026 年 8 月 22 日用 Lean 验证了它。这个过程包括输入我们此前沿用 Córdoba–Martínez-Zoroa 思路研究 IPM 方程爆破的共同工作中的思想，以及我们和其他人的若干工作，并与模型围绕各种构造形式反复迭代，最终得到 Boussinesq 爆破。我们认为，与 Claude 迭代产生的第一份证明稿，是我们在数学史上见过的最糟糕的稿件（不久后，三维 Euler 的稿件，以及随后低耗散纳维耶－斯托克斯的稿件，又超过了它）。之后，我们的任务是写出一份可以展示且可以理解的稿件。几周来，我们用 Claude 和 Codex，之后又通过 5.6 Sol，对稿件进行迭代。（在整个合作过程中，我们通常把所有中间稿都输入 Codex，用于简化、

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