证明各节安排与单位尺度归约
第 3 节给出精确的仿射波计算并构造受控演化。其四项任务是：放大新层、使其涡量振幅回到零、保持更早的层，以及使阶段长度可求和。锥与形变估计提供后续所需的几何信息。第 4 节构造具有所需仿射区域的紧支撑场，并通过光滑初始插值保留指定的正弦初始数据。第 5 节证明指定有限阶范围内的一致导数界，以及每个固定层的任意阶导数界。第 6、7 节在明确的层假设下给出有限阶修正方程、紧支撑逆旋度算子，以及外部源项的混合导数估计。第 8 节用同一套参数选择验证这些假设。第 9 节构造爆破前的状态以及闭时间区间上的外部源项，第 10 节证明两个爆破结论和在该节定义的更大有限能量类 Xτ 中的唯一性。
未命名常数 C 可以增大，但必须保留其估计中指定的依赖关系。除非另有说明，它仅依赖第 3 节引入的固定数据、剖面、设计、界常数与正间隙，而与层指标、频率、容许导数阶和生命周期无关。依赖阶数的常数及有限层级常数，将相应阶数或层级写作下标或自变量。每个固定层的任意阶界，与一致有限阶界加以区分；预备引理各自说明其允许的输入。命名常数和正间隙一经选择便固定。第 8 节规定选择顺序：先选低阶几何常数，再选导数与修正常数，最后选频率。下面的单位变换只作一次；之后增大常数时，归一化方程与初始数据保持固定。
1.4. 归约到单位基准尺度
我们在基准振幅与频率均为一的情形下实施构造。截断仍然任意：单位变换会改变其支撑半径，而定理并未预先指定这个半径。
引理 1.2（缩放归约）。只需对每个径向 χ̃₀ ∈ C∞c(BR̃₀)，其中 R̃₀ > 2、0 ≤ χ̃₀ ≤ 1 且 χ̃₀ 在 B₂ 上等于一，在初始数据 −sin(X₂)χ̃₀(X) 和零速度下构造出定理 1.1 的结论即可。
证明。对原始数据，令 μ = λ₀ ≥ 1、ν = √A₀，以及 χ̃₀(X) = χ₀(X/μ)。该截断是径向的，在 B2μ ⊃ B₂ 上等于一，并支撑于 BμR₀。给定单位尺度构造，在 (X, T) = (μx, νt) 处取所有带波浪号的场，并定义
标量方程的每一项得到因子 ν³/μ。动量方程的每一项（包括 θe₂）得到因子 ν²/μ；散度得到因子 ν，旋度给出 ω = νω̃；涡量残差得到因子 ν²。因此，两个方程的系数仍为一，实验室坐标方向也相同。K 的乘子具有负一次齐次性，给出 K[νω̃(μ·)] = (ν/μ)(Kω̃)(μ·)，因而 u = Kω。对构造使用的紧支撑流函数，ψ = (ν/μ²)ψ̃(μx, νt) 给出 u = ∇⊥xψ 和 ω = Δxψ。引理 4.1 给出同一恒等式，且不带零频歧义。初始温度恰好是式 (1.4)。支撑半径除以 μ，而点反射奇偶性及 p(0, t) = 0 保持不变。
对每个空间多重指标 γ 和整数 b ≥ 0，
