累积梯度、相关工作与证明组织
接上一原页末句。
每个旧层的这个区域内部。因此，每个新波恰好处于上文使用的仿射背景中。这里的背景指基场加上所有更早的层，而不只是紧邻的上一层。
中心区域之外的修正逐阶消去振荡局部化误差，而不改变这些动力学。对于两个 Boussinesq 方程，这实现了文献 [6, 第 1.2.4 节] 的高阶修正策略。经过光滑激活与修正后，以 θq、ψq 表示第 q 层的紧支撑温度与流函数。解按下式组装：
其中 θb、ψb 为基场。在爆破前任意闭时间区间内，只出现有限项。
奇性使原点在速度流映射下保持固定。我们将该处温度梯度保持在同一个锐锥中，因此它们的增益不会相互抵消，而会持续存在，给出式 (1.5) 的完整梯度极限。涡量下界在转向区间的末端计算，此时最新的振幅为零，而旧层贡献具有共同符号。在这些时刻之间可能发生抵消，这就是该结论使用上极限的原因。终止时刻的外部源项由可求和性控制：修正阶随层指标增大，使外部源项级数连同每个混合导数都收敛。第 8 节选择频率，以满足这些要求，并将无限多个阶段放入有限时间。
1.3. 相关工作与证明的组织
Chae 和 Nam [3] 研究了 Boussinesq 方程的局部光滑存在性、唯一性和一个爆破判据。
对于奇点形成，定义域和初始数据的正则性区分了若干结果。Elgindi 和 Jeong [7] 在扇形区域中构造奇点：其数据具有有限能量、满足 Lipschitz 条件，并在原点之外光滑。Elgindi 和 Pasqualotto [8] 在平面上构造会变得奇异的紧支撑 C1,α 解；其初始场可能在原点缺乏径向光滑性。Chen 和 Hou [4] 在带边界的情形下，从光滑有限能量数据获得爆破。这些结果的几何与初始正则性组合，与本文在整个平面上使用光滑数据和外部源项的构造不同。
与我们思想上最接近的先行工作，是上面讨论的带外部源项的构造。对于 IPM，Córdoba 和 Martínez-Zoroa [6] 构造了发展出奇点的光滑有限能量解，其紧支撑源项属于 L∞tC∞x。他们的工作不仅提供层的组织方式，还提供了随空间尺度减小而提高近似阶的原则。他们的注 1 预期可以改善时间正则性，包括经过进一步分析获得任意时间阶的光滑性。Alpöge、Buckmaster 和 Coiculescu [1] 在 T² 上发展了这一 IPM 策略，得到 F ∈ C∞([0, 1] × T²)，并同时得到密度梯度与速度梯度爆破。我们也借鉴了这一后续发展，但基础策略仍归于 Córdoba 和 Martínez-Zoroa。
对于平面 Boussinesq 系统，Córdoba、Laín-Sanclemente 和 Martínez-Zoroa [5] 使用多层退化摆构造，得到爆破前光滑的紧支撑速度与密度。他们的动量外力在终止时刻仍属于 C0t(C1,αx ∩ L²x)，其中 0 < α < √(4/3) − 1。标量源项和旋度源项具有紧支撑，而他们选定的动量外力没有紧支撑。他们的注 5 还允许：在按照给定阶数选取构造参数后，对标量和旋度源项获得任意预先指定的有限个时间导数。其主定理断言，密度梯度范数的时间积分发散。
定理 1.1 给出这一研究计划的另一种实现：两个外部源项具有同一个固定支撑球，并在闭时空层上拥有全部混合导数；温度梯度范数的完整极限为无穷。动力学比较关注构造形式如何为后续层作准备，而不是把两套常微分方程系统等同起来。我们对本文需要的 Boussinesq 恒等式和估计给出自包含的证明，包括两个残差方程和端点结论。
