Boussinesq · 原文第 3 页

定理 1.1 与多尺度波的构造

定理 1.1（光滑外部源项与有限时间爆破）。对于固定初始数据 (1.4)，存在奇函数源项

以及时间 T_* ∈ (0, ∞)，使下述性质成立：

(1) 对每个 0 < T < T_*，系统 (1.1) 都有唯一解 (θ, u, p)，具有指定初值 θ(x, 0) = θ_in(x)、u(x, 0) = 0，并满足

该解具有式 (1.9) 的奇偶性。

(2) 当 t ↑ T_* 时，该解以下述意义发生爆破：

其中 ω = curl u。

一个固定球 B_RF（R_F < ∞）包含 0 ≤ t < T_* 时 θ、u、ω 的支撑，以及所有 t ∈ ℝ 时两个源项的支撑。关于状态（包括迹和方程）、压力以及唯一性的断言仅适用于爆破之前；只有外部源项连同每个混合时空导数都延拓穿过 T_*。

1.2. 构造如何产生增长

我们沿用 Córdoba 和 Martínez-Zoroa [6, 第 1.2 节] 为带源项不可压缩多孔介质方程构造有限时间奇点所发展的策略。我们依次加入局部化振荡扰动，以构造温度与速度，并把这些扰动称为“层”。每个新扰动通过已有温度梯度造成的不稳定性而增长。它的短波长允许其温度梯度变大，而温度振幅仍保持很小。在控制伴随速度之后，这个更大的梯度为下一次在更小空间尺度上引入的扰动提供背景。我们在有限时间内安排无限多个这样的阶段。困难在于使温度梯度不断累积而不相互抵消，同时保持两个外部源项在爆破时刻前后光滑。

波及其方程

首先忽略空间截断，并假设已经构造的场具有局部形式

这里 D(t) 是速度梯度，tr D = 0；G(t) 是温度梯度。相应涡量 ω_old 在空间上为常数。我们加入具有相同相位的温度波 ϑ 和涡量波 ϖ：

正频率参数 λ 固定；非零向量 ζ(t) 随时间变化，因此物理波向量为 λζ(t)。实数 Θ(t)、Ω(t) 是带符号的振幅。该波的流函数与速度为

确实有 Δψ = ϖ。这些是附加场：新温度与新速度分别为 θ_old + ϑ 和 u_old + v。

速度 v 与 ζ 垂直，而两个波的梯度都与 ζ 平行。因此，波不会输运自身：

另外，v · ∇ω_old = 0。减去旧场的方程后，若不引入新的外部源项，则附加波的方程为