Boussinesq · 原文第 2 页

Boussinesq 系统、函数空间与初始数据

1.1. Boussinesq 方程

我们考虑 ℝ² 上带外部源项的无黏性 Boussinesq 系统：

这里 e₂ = (0, 1) 是第二个、方向向上的标准基向量。温度异常量 θ 由速度场 u 输运。正温度异常被解释为较低密度，它通过 θe₂ 产生向上的浮力，与物理上向下的重力相反。背景静水压的贡献吸收到压力中。外部源项 f_θ、f_u 将被选定，以构造爆破解。

Boussinesq 方程也可写成涡量形式。设 J(x₁, x₂) = (−x₂, x₁)、∇^⊥ = J∇，以及 ω = ∂₁u₂ − ∂₂u₁。涡量方程为

以 K = ∇^⊥Δ⁻¹ 表示平面 Biot–Savart 算子。其 Fourier 变换约定以及全文使用的点反射奇偶性，将在第 1.5 小节规定。

对于 T > 0，令 Y_T 表示局部化的光滑 Biot–Savart 函数类，其中的函数对 (ϑ, v) 满足

并且对每个整数 j ≥ 0 和空间多重指标 γ，

这里的紧支撑条件意味着，存在一个空间紧集，在整个 [0, T] 上包含 ϑ 和 curl v 的支撑；该紧集可以依赖于 T。

对于满足奇偶性类别 (1.9) 的光滑紧支撑标量与涡量初始数据，若初始环量为零且速度由 Biot–Savart 定律给出，则经典的局部存在唯一性理论 [3] 也适用于具有相同奇偶性的指定光滑紧支撑外部源项。当 T > 0 足够小时，所得解属于 Y_T。事实上，有界速度与输运方程在局部时间内保持标量和涡量支撑的紧性。涡量方程保持零环量，涡量的偶性又给出其一阶矩为零：

这些恒等式也对 ω 的每个时间导数成立。将 Biot–Savart 核作 Taylor 展开直至线性项，并利用这些抵消，就得到式 (1.3)。

固定 A₀ ≥ 1、λ₀ = ⌈√A₀/2⌉，以及径向函数 χ₀ ∈ C^∞_c(B_R₀)，其中 R₀ > 2、0 ≤ χ₀ ≤ 1，且 χ₀ 在 B₂ 上等于一。指定的初始数据为

在原点附近，温度随高度降低，满足 ∂₂θ_in(0) = −A₀。因此，更冷、更重的流体位于更暖、更轻的流体之上，构成光滑的 Rayleigh–Taylor 不稳定分层。向上的位移把较暖流体带入较冷的周围流体中，于是浮力增强该位移。这就是在我们的构造中放大振荡层的不稳定性；其振幅方程在第 1.2 小节推导。