315 · 数论探索笔记 / 续篇

从坐标跳跃，数出孪生质数

一个精确计数恒等式，以及它没有证明的事情。

TN=VN−2DN8. T_N=\frac{V_N-2D_N}{8}.

本篇结论。 纵坐标步长的平方和与累计偏差，可以精确给出指定范围内的孪生质数对数。下面提供完整的初等证明，不借助质数定理；但不宣称公式具有已确认的原创性，也没有证明孪生质数有无穷多对。

1. 定义与边界

仍然按相同序号配对 (pn,qn)(p_n,q_n)：pnp_n 为第 nn 个质数，qnq_n 为第 nn 个奇数非质数，保留 11。

(qn)n≥1=(1,9,15,21,25,27,33,…). (q_n)_{n\ge1}=(1,9,15,21,25,27,33,\ldots).

令 hn=qn+1−qnh_n=q_{n+1}-q_n。第一步 h1=8h_1=8 单独排除；对 n≥2n\ge2，有 hn∈{2,4,6}h_n\in\{2,4,6\}。

理由。 相邻奇数之差为正偶数；在 qn+2,qn+4,qn+6q_n+2,q_n+4,q_n+6 中，必有一个是大于 33 的 33 的倍数，因此下一项最多相距 66。

对每个整数 N≥2N\ge2，定义：

DN=qN−2N−5,VN=∑n=2N−1(hn−2)2. \begin{aligned} D_N&=q_N-2N-5,\\ V_N&=\sum_{n=2}^{N-1}(h_n-2)^2. \end{aligned}

DND_N 是扣除基准步长 22 后的累计偏差，VNV_N 是这些偏差的平方和。N=2N=2 时求和为空，规定为 00。

定义以下孪生质数对数：

TN=#{r∈ℕ:r≥11,r+2<qN,r,r+2 均为质数}. T_N=\#\{r\in\mathbb N:r\ge11,\ r+2<q_N,\ r,r+2\text{ 均为质数}\}.

计数范围很重要： 不包含 (3,5)(3,5) 和 (5,7)(5,7)，因为它们位于已排除的第一步 1→91\to9 中；也不包含尚未被终点 qNq_N 包围的质数对。

2. 精确计数恒等式

命题。 对每个整数 N≥2N\ge2，

TN=VN−2DN8. T_N=\frac{V_N-2D_N}{8}.

展开为只含纵坐标的表达：

8TN=∑n=2N−1(qn+1−qn−2)2−2qN+4N+10. \begin{aligned} 8T_N={}&\sum_{n=2}^{N-1}(q_{n+1}-q_n-2)^2\\ &-2q_N+4N+10. \end{aligned}

这不是拟合或渐近关系，而是有限范围的严格等式。特别地，式（3）的右侧总是非负的 88 的整数倍。

3. 完整证明

第一步：高度 6 的跳跃与孪生质数一一对应

若 qn+1=qn+6q_{n+1}=q_n+6，两个中间奇数 qn+2,qn+4q_n+2,q_n+4 必须都是质数。否则其中某个应先进入奇数非质数序列，与相邻性矛盾。

反过来，若 r,r+2r,r+2 都是质数且 r≥11r\ge11，则 r≡5(mod6)r\equiv5\pmod6。因此 r−2r-2 和 r+4r+4 都是大于 33 的奇数倍数 33，为合数；两者之间仅有的两个奇数正是 r,r+2r,r+2，所以这两个合数在序列中相邻。

故在本篇范围内：

hn=6⇔(qn+2,qn+4) 是孪生质数对. h_n=6 \quad\Longleftrightarrow\quad (q_n+2,q_n+4)\text{ 是孪生质数对}.

由此，TNT_N 恰好是 h2,…,hN−1h_2,\ldots,h_{N-1} 中 66 出现的次数。

第二步：用多项式识别高度 6

取

F(h)=(h−2)(h−4)8. F(h)=\frac{(h-2)(h-4)}8.

它在三个可能的步长上恰好满足

F(2)=0,F(4)=0,F(6)=1. F(2)=0,\qquad F(4)=0,\qquad F(6)=1.

于是：

TN=18∑n=2N−1(hn−2)(hn−4). T_N=\frac18\sum_{n=2}^{N-1}(h_n-2)(h_n-4).

第三步：平方和与望远镜求和

利用恒等式

(h−2)(h−4)=(h−2)2−2(h−2), (h-2)(h-4)=(h-2)^2-2(h-2),

以及

∑n=2N−1(hn−2)=qN−q2−2(N−2)=qN−9−2N+4=DN, \begin{aligned} \sum_{n=2}^{N-1}(h_n-2) &=q_N-q_2-2(N-2)\\ &=q_N-9-2N+4\\ &=D_N, \end{aligned}

就得到

TN=18(VN−2DN).▫ T_N=\frac18(V_N-2D_N). \qquad\square

4. 一万版的实际数值

横坐标上限 1000010\,000 时，有 N=1229N=1229 对，最后一对为 (9973,3415)(9973,3415)。计算得：

D1229=3415−2⋅1229−5=952,V1229=2616. \begin{aligned} D_{1229}&=3415-2\cdot1229-5=952,\\ V_{1229}&=2616. \end{aligned}

所以：

T1229=2616−2⋅9528=89. T_{1229}=\frac{2616-2\cdot952}{8}=89.

这 8989 对的较小项至少为 1111，且两个质数都小于 34153415。若把 (3,5)(3,5) 和 (5,7)(5,7) 也计入，则两个质数都小于 34153415 的孪生质数共有 9191 对。

独立复核。 用筛法直接枚举孪生质数，与步长公式计数一致。横坐标上限扩至 10610^6 后，N=78498N=78498、qN=191581q_N=191581，得到 DN=34580D_N=34580、VN=85856V_N=85856、TN=2087T_N=2087，亦与直接计数相符。计算用于复核；前面的证明才保证所有 NN 都成立。

5. 能推出什么，不能推出什么

由于 qN→∞q_N\to\infty，从式（2）可知：

孪生质数有无穷多对⇔VN−2DN→+∞. \text{孪生质数有无穷多对} \quad\Longleftrightarrow\quad V_N-2D_N\longrightarrow+\infty.

这是一种等价改写，不是孪生质数猜想的证明。 即使分别知道 VNV_N 和 DND_N 都无限增长，也无法保证两者相减后无限增长。必须控制抵消后剩下的部分，而这正是难点。

另一个限制是：公式只用了纵坐标 qnq_n，没有利用横坐标 pnp_n。 它揭示的是奇数非质数序列的结构，还没有建立两轴之间新的相互作用。

6. 原创性与已有研究

“高度 66 对应孪生质数”的关键联系已经记录于 OEIS A067970，不能算作本次新发现。

Cohen 与 Senft 的 2025 年论文《相邻奇合数之间大小为 2、4 以及有条件的 6 的间隔出现无穷多次》，专门讨论这些步长及其与孪生质数的关系。

本篇平方和表达是在此次探索中推导出来的直接代数推论；有限检索不能确认是否已有相同表述，因此不宣称首次发现或前沿突破。

最终结论：公式成立，证明完整，原创性未确认。 它可以把你图中的纵向跳跃精确转化为孪生质数计数，但尚未提供质数分布的新定理或孪生质数猜想的解答。

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