两列数，同一个序号

质数与奇数非质数的配对图：精确关系、增长趋势，以及证明的边界。

1. 定义：只按相同序号配对

令 $p_n$ 为第 $n$ 个质数，令 $q_n$ 为第 $n$ 个奇数非质数，两个序列都按从小到大排列：

$$\begin{aligned} (p_n)_{n\ge1}&=(2,3,5,7,11,13,17,\ldots),\\ (q_n)_{n\ge1}&=(1,9,15,21,25,27,33,\ldots). \end{aligned}$$

这里保留 $1$：它是奇数，不是质数，也不是合数。本文所有公式均采用这一约定；若去掉 $1$，纵坐标序列会整体移位，不能照搬公式中的常数。

点集的前几项为

$$(p_1,q_1)=(2,1),\quad (p_2,q_2)=(3,9),\quad (p_3,q_3)=(5,15).$$

第一个配第一个，第二个配第二个。 不做所有横、纵坐标的交叉组合。横纵轴表示数值，序号只负责配对。

2. 精确计数：不是拟合公式

记质数计数函数为

$$\pi(t)=\#\{p\le t:p\text{ 为质数}\}.$$

再记不超过 $t$ 的奇数非质数数量为 $Q(t)$。对于实数 $t\ge2$，奇数共有 $\lfloor(t+1)/2\rfloor$ 个；其中奇质数共有 $\pi(t)-1$ 个，减去即可得到：

证明。 因为 $q_n$ 是奇数，且 $Q(q_n)=n$，把 $t=q_n$ 代入式（1）得

$$n=\frac{q_n+1}{2}-\pi(q_n)+1 =\frac{q_n+3}{2}-\pi(q_n).$$

整理即得式（2）。第一项 $q_1=1$ 不在 $t\ge2$ 的适用范围内，应单独处理。$\square$

例如 $q_3=15$ 且 $\pi(15)=6$，所以 $15=2\cdot3+2\cdot6-3$。

含义。 纵坐标与 $2n$ 的偏差，由不超过纵坐标的质数数量精确决定。它是真实的数学联系，但不是避开质数计数的计算捷径。

3. 大尺度形状：依赖已有质数定理

以下渐近结论使用已有定理，不构成该定理的新证明。

质数定理及其等价形式给出 [3]：

其中 $\ln$ 是自然对数；$a_n\sim b_n$ 表示 $a_n/b_n\to1$，并不表示两者相等或绝对误差趋于零。

由式（1）和 $\pi(t)=o(t)$，得到 $Q(t)\sim t/2$。在 $t=q_n$ 处取值，有 $n=Q(q_n)\sim q_n/2$，因此

$$q_n\sim2n, \qquad \frac{q_n}{p_n}\sim\frac{2}{\ln n}\longrightarrow0.$$

进一步，由 $\ln p_n\sim\ln n$，在配对点上有

这就是“图的大尺度趋势为 $y\sim2x/\ln x$”的严格含义。这里描述的是离散点列的渐近行为，不是在断言存在一条光滑曲线，也不意味着每一步斜率都递减。

4. 一个可完整证明的结论

证明。 当 $n\ge2$ 时，$p_n$ 是奇质数。由式（1），

$$Q(p_n)=\frac{p_n+3}{2}-n.$$

由于质数 $p_n$ 不可能等于奇数非质数 $q_n$，“第 $n$ 个奇数非质数小于 $p_n$”等价于 $Q(p_n)\ge n$。所以

Rosser 的已有下界 [4] 为 $p_n>n\ln n$。当 $n\ge55$ 时，$\ln n>4$，故 $p_n>4n>4n-3$。剩下的 $31\le n\le54$ 是有限检查，下面完整列出下界余量。

因此式（5）对全部 $n\ge31$ 成立。$\square$

注意，这不是说第一次出现在下方就是第 31 对：第 1 对、25 对和 26 对也在下方。比如 $(97,95)$ 在下方，随后 $(103,105)$ 又在上方；第 31 对 $(127,119)$ 之后才永久保持在下方。

5. 局部步长：更具体的观察对象

定义相邻点的横向和纵向增量：

$$g_n=p_{n+1}-p_n,\qquad h_n=q_{n+1}-q_n.$$

横向增量 $g_n$ 是质数间隔。纵向增量则满足：

证明。 相邻奇数非质数之差必为正偶数。对 $n\ge2$，有 $q_n\ge9$；在 $q_n+2,q_n+4,q_n+6$ 三个奇数中，总有一个是大于 $3$ 的 $3$ 的倍数，因而是合数。因此下一个奇数非质数距 $q_n$ 至多为 $6$。第一步单独计算为 $9-1=8$。$\square$

与之相比，质数间隔没有统一的有限上界：对任意整数 $m\ge2$，连续的 $m-1$ 个整数

$$m!+2,\ m!+3,\ \ldots,\ m!+m$$

分别被 $2,3,\ldots,m$ 整除，全部是合数，故能构造任意长的无质数区间。

可继续提出的问题。 对满足 $h_n=2$、$4$、$6$ 的三类序号，横向间隔 $g_n$ 的分布是否呈现可证明的区别？这只是待研究的问题，不是在宣称已有新相关性；同序号对应的两个数通常处于不同的数值尺度，统计分析不能忽略这一点。

6. 能否反过来证明质数分布？

仅有 $q_n\sim2n$ 不够。 把它代回式（2），最多直接推出 $\pi(q_n)=o(q_n)$，也就是质数相对稀少；它没有给出质数数量的主项 $t/\ln t$。

真正够用的一个精确目标，是独立建立下面的二阶渐近式：

式（8）是可由已有理论推出的结论；在“新证明路线”里，任务是不用质数定理独立证明它。

若已经独立证明式（8），由精确恒等式（2）可得：

$$\pi(q_n)=\frac{q_n-2n+3}{2} =\frac{2n}{\ln n} +o\!\left(\frac{n}{\ln n}\right).$$

同时 $q_n\sim2n$、$\ln q_n\sim\ln n$，所以

$$\frac{q_n}{\ln q_n}\sim\frac{2n}{\ln n}, \qquad \pi(q_n)\sim\frac{q_n}{\ln q_n}.$$

对于充分大的实数 $t$，选择 $n$ 使 $q_n\le t<q_{n+1}$。式（7）给出 $t-q_n<6$，因此两点之间的质数计数差是有界量，从而

$$\pi(t)=\pi(q_n)+O(1) \sim\frac{t}{\ln t}.$$

这就推出质数定理。反过来，已有质数定理结合式（2）与 $q_n\sim2n$ 也立即给出式（8）。因此，这个二阶渐近目标与质数定理可以相互推出；它是问题的另一种表述，不是已经降低难度的捷径。

7. 什么已经成立，什么还没有

已成立。 精确计数式、配对恒等式、纵向步长限制，都能从定义和初等计数推出；“第 31 对以后在对角线下方”使用了已有质数下界加有限核验；大尺度形状及二阶渐近式使用已有质数定理。

尚未完成。 本文没有给出不借助质数定理的二阶渐近式新证明，也没有证明横纵步长之间存在新的统计规律。

研究价值。 这张图把“同一排序位置上的增长差异”显现出来，有助于提出具体问题。但要影响前沿数学，需要得到此前未知、且经过严格证明的结论，或者给出确有优势的新证明、新算法。仅绘图、扩大计算范围或换写等价公式，都不能单独支撑这种主张。

8. 文献与复核说明

[1] OEIS A014076：Odd nonprimes（奇数非质数）。记录纵坐标序列及其渐近性质。

[2] OEIS A163504：同序号质数与奇数非质数差的绝对值。2009 年已有记录；这不等于该坐标图的所有问题都已解决。

[3] NIST DLMF §27.12：质数的渐近公式。用于质数定理、质数计数与第 $n$ 个质数的渐近关系。

[4] Christian Axler：New Estimates for the nth Prime Number。文中回顾 Rosser 的下界 $p_n>n\ln n$。

数值复核采用埃拉托斯特尼筛：筛出上限内质数，再从正奇数中剔除质数得到第二个序列，最后逐项配对。横坐标不超过 $10^6$ 时共有 $78\,498$ 对，最后一对为 $(999983,191581)$。有限计算只验证所计算的范围，不替代证明。