比用途
早到一步

用一个平面斜着切过圆锥，可以得到椭圆。改变切割方式，还能得到抛物线、双曲线。这些形状统称圆锥曲线（conic sections）。公元前约350年，古希腊数学家梅内克缪斯已经研究它们，用来处理倍立方问题；后来，阿波罗尼奥斯把相关知识整理成了系统的几何理论。

古希腊人研究的首先是图形：曲线怎样相交，切线怎样构造，不同长度之间有什么关系。近两千年后，开普勒面对的却是一批行星观测数据。圆形轨道无法准确解释火星的位置，椭圆成了突破口。

1609年，开普勒发表《新天文学》，提出行星沿椭圆轨道绕太阳运动，太阳位于椭圆的一个焦点。纸上的几何形状，终于与天空中的真实运动吻合。

从古希腊的早期研究到这一发现，约隔了1,950年。圆锥曲线并未在这段时间里毫无用处，数学和光学都曾使用它；但描述行星轨道，让它获得了全新的物理意义，也为后来的天体力学提供了重要工具。

出处：《大英百科全书》：圆锥曲线NASA：开普勒定律

十进制用十个数字记数，逢十进一；二进制（binary）只用0和1，逢二进一。同一个数换一种写法，并不会凭空多出价值。它的优势，要放进具体的机器里才能显现。

1703年，莱布尼茨发表二进制算术论文，系统说明了这套记数和运算方法。二进制思想有更早的历史，莱布尼茨自己也考虑过二进制计算装置，但将它发展为实用计算系统，还需要可靠的硬件。

电路恰好能提供两种容易区分的状态，例如开与关、两档不同的电压。比起要求一个元件稳定地区分十种状态，区分两种状态通常更容易实现。把大量这样的元件连接起来，就能表示数字、保存信息并执行运算。

到了1930年代末至1940年代，二进制进入早期计算机。1941年完成的Z3已经使用二进制浮点运算，并用于空气动力学计算。距离莱布尼茨的论文，过去了238年。一套旧算术，等来了足以放大其优势的机器。

出处：二进制发展史研究计算机历史博物馆：Z3

顺铂（cisplatin）在1840年代就已被合成，早期称为佩罗内盐。它曾参与配位化学的发展：同样的原子，以不同的空间排列结合，可以形成性质不同的化合物。历史资料对首次合成年份有1844年与1845年两种记载，但它远早于抗癌用途的发现，这一点没有疑问。

罗森伯格团队最初研究的是电场与细胞分裂。他们把铂电极放进含有大肠杆菌的溶液，发现细菌变得细长，生长仍在继续，分裂却受到抑制。这并不是一次事先设计好的抗癌药筛选。

真正改变研究方向的，是对异常现象的追查。被认为较为惰性的铂电极，实际上参与了溶液中的化学反应。研究者逐步识别出相关铂化合物，进而测试它们是否也能抑制肿瘤。动物实验、临床研究接续展开，直到顺铂在1978年获批。

从合成一种物质，到证明它可以用作药物，中间有两道完全不同的门槛。前者回答怎样把它做出来，后者必须回答它对生物做了什么、疗效如何，以及代价能否承受。顺铂的毒副作用至今仍是治疗中需要认真权衡的问题，但它在睾丸癌等癌症治疗中的价值，已经远远超出了早期化学研究的范围。

出处：美国化学会 C&EN：顺铂美国国家癌症研究所：发现过程

光照能让装置产生电，这个现象发现得很早。1839年，埃德蒙·贝克勒尔在电化学实验中观察到光伏效应（photovoltaic effect）。此后的难题，是把微弱的实验现象变成可用的电源。

1883年，查尔斯·弗里茨用硒制成太阳能电池。它确实能把光转成电，但效率很低。证明一条物理道路走得通，和让这条道路具备实用价值，并不是同一件事。

突破后来出现在硅半导体上。经过适当处理的硅可以形成结区，其中的内建电场帮助分离光照产生的电荷；接入外部电路，便能输出电能。材料纯度、杂质控制和电极接触，都直接影响最后能收集到多少电。

1954年，贝尔实验室展示了实用硅太阳能电池。从1839年的发现算起，已经过去115年。再往后，效率、寿命与成本仍需继续改善，太阳能电池才逐渐从特殊用途走向更广泛的供电场景。光伏的漫长等待，大部分发生在工程细节里。

出处：美国能源部：太阳能时间线美国物理学会：实用硅太阳能电池

二进制解决怎样表示数字，布尔代数（Boolean algebra）处理的则是真假之间的逻辑关系。两者经常一起出现，却不是同一个概念。

1847年，乔治·布尔出版《逻辑的数学分析》，尝试把推理写成可以运算的形式。经过后续数学家的发展，“与”“或”“非”等关系有了清晰的代数规则。这样的研究首先属于逻辑学，而非电子工程。

把两个开关串联，必须两个都闭合，电路才会接通，这相当于逻辑中的“与”。改成并联，只要有一条支路闭合就能接通，则对应“或”。抽象的真假关系，竟然可以由具体的开关连接来实现。

1937年，香农在硕士论文中将布尔代数用于继电器与开关电路的分析和设计。工程师不必只靠试接线路，还可以先在纸上化简逻辑，再据此构造电路。其他研究者在1930年代也提出过相关思路，但香农的工作成为这一联系的重要里程碑。

距离布尔1847年的著作，正好90年。后来开关越做越小，电路越来越密，这套逻辑关系却一直留在数字系统的底层。

出处：计算机历史博物馆：数字逻辑

1888年，弗里德里希·莱尼策研究胆固醇衍生物时，遇到一个反常现象：样品受热后先变成浑浊液体，继续加热，又变得清澈。降温时，类似过程还会反过来发生。

随后开展的研究表明，物质不必只在整齐的固体与无序的液体之间二选一。液晶（liquid crystal）能够流动，同时保留一定的分子取向秩序。这种看似两头不靠的性质，后来恰恰成了显示技术的关键。

在常见的液晶显示方案中，电场可以改变分子的排列方向，进而改变光经过液晶层和偏振片后的透过程度。把这样的控制分成许多小区域，就能让不同位置呈现不同的明暗，组成数字和图像。液晶层本身主要负责调制光，并不像发光二极管那样直接发光。

1968年，RCA公开展示液晶显示技术，距离最初的发现约80年。早期显示方案与后来广泛使用的低功耗方案并不完全相同；材料、驱动与制造工艺也还要继续发展。曾让研究者困惑的物态，最终进入了手表、计算器与大大小小的屏幕。

出处：《日本学士院纪要》：液晶显示发展史《自然·电子学》：液晶显示器的诞生

在平面上，三角形的内角和是180度；在球面上，由测地线围成的三角形却可以超过180度。空间怎样弯曲，会改变长度、角度和路径之间的关系。

1854年，黎曼在一场几何学演讲中，把这类问题推进到更一般的空间。他研究怎样在空间内部定义距离、怎样描述曲率，而不必先把它想象成嵌在某个更大空间里的一张弯曲薄片。这个框架后来发展为黎曼几何（Riemannian geometry）。

六十多年后，爱因斯坦研究引力时，需要的恰好是一种能够描述时空几何的数学语言。1915年完成的引力场方程，把时空曲率与物质、能量的分布联系起来。引力不再只是固定空间中物体之间的拉扯，时空本身也进入了物理过程。

这座桥由许多人共同修建：克里斯托费尔、里奇、列维-奇维塔等人发展了关键数学工具。广义相对论采用的是伪黎曼几何，时间与空间的度量关系也不同于普通空间几何。从1854年到1915年的61年，体现的是数学逐步进入物理理论的过程，而非一套现成答案等待被抄走。

出处：美国物理学会：黎曼的弯曲空间《爱因斯坦如何找到他的场方程》

普通X射线照片会把沿射线路径的组织信息叠在一起。它能显示人体内部，却不容易分清某个信号究竟来自哪一层。计算机断层成像（computed tomography，CT）的任务，是把这些重叠信息拆回断面。

1917年，约翰·拉东研究了一个数学问题：知道一个函数沿不同直线的积分，能否反推出这个函数？积分可以理解成沿途数值的累计。只掌握一个方向的累计量，通常无法确定内部结构；拥有足够多方向的信息，在一定条件下，就可能重建分布。

这就是拉东变换（Radon transform）及其逆问题所提供的数学基础。它与CT面对的困难十分接近：从不同角度测量X射线穿过身体后的衰减，再由计算机重建内部各处的衰减系数，形成切片图像。

1971年，首次患者CT扫描完成，距离拉东的论文54年。不过，医学CT并非直接由一篇旧论文变成机器。相关重建方法此前已经进入射电天文学，科马克等医学成像先驱也曾独立推导方法，后来才了解更早的数学研究。探测器、扫描装置与计算能力一同成熟，才让纸上的重建问题走进医院。

出处：飞利浦：CT重建数学的沿革《放射学》：CT里程碑